Alexander-Polynome für Knoten

Was ist ein Alexander-Polynom ?

Zunächst eine Begriffserklärung: Eine rechtshändige Kreuzung ist eine Kreuzung, an der ein Beobachter, der in Richtung der Überkreuzung gewandt ist, die Unterkreuzung als von rechts nach links führend ansehen würde. linkshändige Kreuzung analog.

Zunächst wähle man ein orientiertes Diagramm für den Knoten und numeriere die n Bögen und n Kreuzungen. Es sei folgende n x n - Matrix definiert:
Wenn die Kreuzung mit Nummer m rechtshändig ist, wobei der Bogen i oberhalb der Bögen j und k verläuft, dann trage man in die i-te Spalte der m-ten Zeile 1-t ein, in die j-te Spalte dieser Zeile -1 und in die k-te Spalte dieser Zeile t.
Wenn die Kreuzung linkshändig ist, trage man 1-t in die i-te Spalte der m-ten Zeile, t in die j-te Spalte und -1 in die k-te Spalte der m-ten Zeile ein.
Alle übrigen Einträge der m-ten Spalte sind 0, ausser wenn irgendwelche i, j, k gleich sind, dann wird die Summe der beschriebenen Einträge gesetzt.

Man streiche aus der beschriebenen n x n-Matrix die n-te Zeile und n-te Spalte und erhält die sogenannte Alexander-Matrix. Die Determinante heisst Alexander-Polynom. Durch die unterschiedliche Wahl des Diagramms zu ein und demselben Knoten kann sich das Alexander-Polynom nur in der k-ten Potenz von t und im Vorzeichen unterscheiden.

vollständige Liste nicht paarweiser äquivalenter Knoten bis neun Kreuzungen

• Knoten ohne Kreuzung

• Knoten mit drei Kreuzungen

• Knoten mit vier Kreuzungen

• Knoten mit fünf Kreuzungen

• Knoten mit sechs Kreuzungen

• Knoten mit sieben Kreuzungen

• Knoten mit acht Kreuzungen

• Knoten mit neun Kreuzungen